Question

【题目】为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).

（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）求；

（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间的人数为，试求.

附：，若~，，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i）；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解；

（Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解.

（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为

.

.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，

即，

从而

（ii）由（i）可知，，

故.