Question

已知a、b、c是实数，函数f（x）＝＋bx＋c，g（x）＝ax＋b，当－1≤x≤1时，

|f（x）|≤1．

　　（1）证明：|c|≤1；

　　（2）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；

　　（3）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）．

Answer 1

答案：
解析：

证明：（Ⅰ）由题设，当时，，∴  ． 　　 （Ⅱ）当时，在，上是增函数．  ∵  当时，，， 　　∴  ． 　　． ∴  ． 　　当时，，， 　　∵  当时，，，∴  ． 　　当时，在，上是减函数，  ∵  当时，，， 　　∴  ， 　，∴  ． 　　综上，有成立． （Ⅲ）∵  ，∴  在，上是增函数， 　　∴  时，取得最大值2，即  ． 　　∵  当时，，|，  ∴  且． 　　∴  ，∴  ．  ∵  当时，，即， 　　∴  直线，是图像的对称轴，即，∴  ，故从而，即为所求．