Question

过曲线C：y=x²-1（x＞0）上的一点P（x₀，y₀）作C的切线l，且l与坐标轴交于M、N两点．
（1）试用x₀表示△OMN的面积S；
（2）问：当x₀为何值时，面积S取到最小值，并求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀）为曲线C：y=x²-1（x＞0）上一点，过点P作曲线C的切线l，利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于M，N两点的坐标，继而可求△OMN的面积．
（2）根据（1）中得到的关于x₀的函数关系，利用导数求出极小值即最小值，得到此时的x₀的值，即可求出对应的点P的坐标．

解答：解：设切点为Q（a，a²-1），
∵y=x²-1（x＞0），则y′=2x，
∴切线l的斜率k=y′|_x=a=2a，
由点斜式可得切线l方程为：y-（a²-1）=2a（x-a），
又切线l过点P（x₀，y₀），且y₀=x₀²-1，
∴x₀²-1-（a²-1）=2a（x₀-a），解得，a=x₀，
∴切线l方程为：y-（x₀²-1）=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²-1，
令x=0，可得y=-1-x₀²，则M（0，-1-x₀²），
令y=0，可得x=

x02+1

2x0

，则N（

x02+1

2x0

，0），
∴S=

1

2

×|-1-x02|×|

x02+1

2x0

|=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0）；
（2）根据（1）可得，S=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0），
∴S′=

3x04+2x02-1

4x02

=

(x02+1)(3x02-1)

4x02

，
令S′=0，可得，x₀=-

3

3

（舍）或x₀=

3

3

，
又S在（0，

3

3

）单调递减，在（

3

3

，+∞）单调递增，
∴S在x₀=

3

3

处取得极小值即最小值，此时P的坐标为（

3

3

，-

2

3

），
故当x₀=

3

3

时，面积S取到最小值，此时P点的坐标为（

3

3

，-

2

3

）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，同时考查了直线的方程以及直线与坐标轴围成的三角形的面积的求解，要注意求面积时横截距和纵截距要用绝对值表示．求面积的最值时，利用导数求最值．属于中档题．