Question

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，
（1）若测得∠BCD=15°，求塔高AB；
（2）若∠BCD=θ，且15°＜θ＜105°，求AB的范围．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形内角和为180°，求得∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求得AB；
（2）同（1）表示出AB，再根据15°＜θ＜105°，即可求AB的范围．

解答：解：（1）在△BCD中，∠CBD=180°-15°-30°=135°．
由正弦定理得

BC

sin30°

=

30

sin135°

，
∴BC=15

2

．
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15

2

×

3

=15

6

；
（2）在△BCD中，∠CBD=150°-θ，
由正弦定理得BC=

15

sin(150°-θ)

，
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

15 3

sin(150°-θ)

，
∵15°＜θ＜105°，
∴45°＜150°-θ＜135°，
∴

2

2

＜sin（150°-θ）≤1，
∴1≤

1

sin(150°-θ)

＜

2

，
∴15

3

≤AB＜15

6

．

点评：本题考查了解三角形的实际应用，考查三角函数知识考查学生的计算能力，属于中档题．