Question

（2012•嘉定区三模）设向量

a

=(x ， 2)，

b

=(x+n ， 2x-1)（n∈N^*），函数y=

a

•

b

在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足b₁=1，b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1．
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数y=

a

•

b

在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，结合向量数量积公式，可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{b_n}的通项公式；
（3）由题意，c_k为{c_n}的最大项，则k≥2，要使c_k为最大值，则

ck≥ck-1 ck≥ck+1

，解不等式，即可求得k的取值．

解答：（1）证明：由已知，y=x（x+n）+2（2x-1）=x²+（4+n）x-2…（2分）
而函数y在x∈[0，1]上是增函数，…（3分）
所以a_n=-2+1+4+n-2=n+1．…（4分）
（2）解：因为b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1，
所以b1+b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2（n≥2），…（6分）
两式相减，得b_n=-

1

10

•(

9

10

)n-2（n≥2）．…（8分）
所以，数列{b_n}的通项公式为b_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

…（10分）
（3）解：因为c₁=-a₁•b₁=-2＜0，c_n=-a_n•b_n=

n+1

10

•(

9

10

)n-2＞0（n≥2），…（12分）
由题意，c_k为{c_n}的最大项，则k≥2，
要使c_k为最大值，则

ck≥ck-1 ck≥ck+1

 …（13分）
即

k+1 10 •( 9 10 )k-2≥ k 10 •( 9 10 )k-3 k+1 10 •( 9 10 )k-2≥ k+2 10 •( 9 10 )k-1

   …（14分）
解得k=9或k=8． …（15分）
所以存在k=8或9，使得c_n≤c_k成立．…（16分）

点评：本题考查数列与向量的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，求得数列的通项是关键．