Question

（2011•南通模拟）如图所示：图1是定义在R上的二次函数f（x）的部分图象，图2是函数g（x）=log_a（x+b）的部分图象．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）如果函数y=g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题图1得，二次函数f（x）的顶点坐标可设函数的顶点式f（x）=a（x-1）²+2，又函数f（x）的图象过点（0，0），求出a，得f（x）的解析式．由题图2得，函数g（x）=log_a（x+b）的图象过点（0，0）和（1，1），将点的坐标代入列出关于a，b的方程组，解得a，b．最后写出g（x）的解析式即可；
（2）由（1）得y=g（f（x））=log₂（-2x²+4x+1）是由y=log₂t和t=-2x²+4x+1复合而成的函数，利用复合函数的单调性研究此函数的单调性，从而得出满足条件的m的取值范围．

解答：解：（1）由题图1得，二次函数f（x）的顶点坐标为（1，2），
故可设函数f（x）=a（x-1）²+2，又函数f（x）的图象过点（0，0），故a=-2，
整理得f（x）=-2x²+4x．
由题图2得，函数g（x）=log_a（x+b）的图象过点（0，0）和（1，1），
故有

logab=0 loga(1+b)=1

∴

a=2 b=1

∴g（x）=log₂（x+1）（x＞-1）．
（2）由（1）得y=g（f（x））=log₂（-2x²+4x+1）是由y=log₂t和t=-2x²+4x+1复合而成的函数，
而y=log₂t在定义域上单调递增，
要使函数y=g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，
必须t=-2x²+4x+1在区间[1，m）上单调递减，且有t＞0恒成立．
由t=0得x=

2± 6

2

，又t的图象的对称轴为x=1．
所以满足条件的m的取值范围为1＜m≤

2+ 6

2

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的图象和性质、对数函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．