练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•石景山区一模）给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤i≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P．
    （Ⅰ）判断数列{xn}：-2，2和数列{yn}：-2，-1，1，3是否具有性质P，简述理由．
    （Ⅱ）若数列{xn}具有性质P，求证：
    ①数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；
    ②若x1=-1，x2＞0且xn＞1，则x2=1．
    （Ⅲ）若数列{xn}只有2013项且具有性质P，x1=-1，x3=2，求{xn}的所有项和S2013．
    分析：（Ⅰ）利用数列{an}具有性质P的概念，对数列{xn}：-2，2与数列{yn}：-2，-1，1，3分析判断即可；
    （Ⅱ）①取A1（xi，xi），数列{xn}具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；
    ②由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，1为数列{xn}中的一项，通过反证法可证得x2=1；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．
    解答：解：（Ⅰ）数列{xn}具有性质P，数列数列{yn}不具有性质P．
    对于数列{xn}，若A1（-2，2），则A2（2，2）；若A1（-2，-2）则A2（2，-2）；均满足OA1⊥OA2，所以具有性质P．
    对于数列{yn}，当A1（-2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即-2x+3y=0，即
    y
    x
    =
    2
    3
    ，数列{yn}中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P．…（3分）
    （Ⅱ）（1）取A1（xi，xi），又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0．…（5分）
    （2）由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，所以1为数列{xn}中的一项．
    假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．
    此时取A1（x2，xn），数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=-1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾；
    当xs=-1时x2=
    xn
    xi
    ≥1，矛盾．所以x2=1．…（9分）
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，
    猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列．（用数学归纳法证明）．
    所以S2013=-1+1+2+4+…+22011=
    2-22012
    1-2
    =22012-2     …（13分）
    点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新概念的理解与应用，突出考查抽象思维与反证法的综合应用，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
    ①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
    ②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
    已知函数f（x）=
    log2x(x＞0)
    -x2-4x(x≤0)
    ，则此函数的“友好点对”有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•石景山区一模）设集合M={x|x2≤4），N={x|log2 x≥1}，则M∩N等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量
    p
    =（m，n），
    q
    =（3，6），则向量
    p
    与
    q
    共线的概率为（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案