Question

已知函数．
（1）求证：函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）设集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M．

Answer 1

解：（1）证明：∵f′（x）=1-，又x∈[2，+∞），
∴0＜≤，-≤-＜0，≤1-＜1，
即f′（x）≥＞0，
∴函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）∵|y=f（x）-x=，在（-∞，0），（0，+∞）为减函数，又x∈[-1，0）∪（0，2]，
∴y≤-2或y≥1．
∴M={y|y≤-2或y≥1}．
分析：（1）当x∈[2，+∞），利用f′（x）=1-≥＞0，即可证得函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）依题意y=，利用其单调性可求得x∈[-1，0）∪（0，2]时y的取值范围，从而可得集合M．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，即可用单调性的定义证明，也可用导数法证明；考查函数y=的性质与集合及其运算，属于中档题．