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在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1).将四边形ABCD沿FG折成空间图形(如图2)后,
(1)求证:DE⊥FG;
(2)线段BG上是否存在一点M,使得AM∥平面BDF?若存在,试指出点M的位置,并证明之;若不存在,试说明理由.

证明:(1)在图1中,因为∠ABC=∠BAD=90°,所以AD∥BC.
因为F,G分别是CD,AB的中点,所以FG∥AD∥BC.
在图2中,因为FG∥AD,FG∥BC,所以AD∥BC.
因为BC=2AD,E是BC的中点,所以AD=BE.
所以四边形ABED是平行四边形.
所以AB∥DE.
因为∠GAD=∠GBC=90°,FG∥AD,FG∥BC,
所以AG⊥FG,且BG⊥FG.
因为AG∩BG=G,且AG,BG?平面AGB,所以FG⊥平面AGB.
因为AB?平面AGB,所以FG⊥AB.
所以DE⊥FG.
(2)当M在线段BG上,且BM=2MG时,AM∥平面BDF.
证明如下:
在线段BF上取点N,使BN=2NF.
因为FG是梯形ABCD的中位线,BC=2AD=4,
所以FG∥AD,且FG=3.
因为BM=2ME,BN=2NF,所以MN∥FG,且MN=
所以
所以四边形MNDA是平行四边形.
所以AM∥DN.
又因为DN?平面BDF,AM?平面BDF,
所以AM∥平面BDF.
分析:(1)先通过图1得到AD∥BC,再由中位线定理得到FG∥AD∥BC,由图2可得到AD=BE,进而可知四边形ABED是平行四边形,可证明AB∥DE,再由∠GAD=∠GBC=90°,FG∥AD,FG∥BC,可得到AG⊥FG且BG⊥FG,最后根据线面垂直的判定定理可证FG⊥平面AGB,又因为AB?平面AGB,所以DE⊥FG.
(2)先判断当M在线段BG上,且BM=2MG时,AM∥平面BDF.根据等比线段的性质得到从而知四边形MNDA是平行四边形,
得到AM∥DN,再由线面平行的判定定理可知AM∥平面BDF,得证.
点评:本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理的应用.考查对立体几何中基本定理的综合应用能力和空间想象能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,在四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,则
EF
BC
+
FG
AD
=
 

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四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,CD∥AB,AB=4,CD=1,点M在PB上,且MB=3PM,PB与平面ABC成30°角.
(1)求证:CM∥面PAD;
(2)求证:面PAB⊥面PAD;
(3)求点C到平面PAD的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在四边形ABCD中,
AB
=
DC
且|
AB
|=|
AD
|,则四边形的形状为
菱形
菱形

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在四边形ABCD中,若
AC
BD
=0,
AB
=
DC
,则四边形ABCD的形状是(  )

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(2012•大丰市一模)在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相平分,交点为O.在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形ABCD成为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以是
∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)
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