Question

A．已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解，则a的取值范围为    ．
B．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25^•，则∠D=    ．
C．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），则直线l被曲线C截得的弦长为    ．

Answer 1

【答案】分析：A．若方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解，实数a+1应该属于函数y=|2^x-1|-|2^x+1|的值域，我们结合绝对值函数在定区间上的值域求法，易得函数y=|2^x-1|-|2^x+1|的值域，进而得到实数a的取值范围．
B．观察要求的角，包括两部分即∠ADB和∠BDC，根据同弧所对的圆周角和弦切角相等，得到∠ADB的度数，根据要求的角包含的另一部分是直径所对的圆周角，得到结果．
C．由题意曲线C的参数方程是：（θ为参数），，然后两个方程两边平方相加，即可求解；然后找出圆心和半径，构造直角三角形，从而求出弦长．
解答：解：A．设y=|2^x-1|-|2^x+1|，再令2^x=t，则y=|t-1|-|t+1|，（t＞0），其图象如图所示，
∴-2≤y＜0，
由方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解
∴-2≤a+1＜0，
∴-3≤a＜-1
故实数a的取值范围[-3，-1）．
故答案为：[-3，-1）
B．连接BD，AC，根据弦切角定理∠MAB=∠ACB=∠ADB=25°
∵∠D所对的弧是，
∴∠D=∠ADB+∠BDC
∴所求角度为25°+90°=115°
故答案为：115°
C．∵曲线C的参数方程是：，（θ为参数），
∴（x-2）²+（y+1）²=9，
∴圆心0为（2，-1），半径r=3，
直线l的参数方程为（t为参数），它的普通方程为：x-2y+1=0，
∵曲线C被直线l所截，
∴圆心到直线的距离为：d==，
∴弦长=2×=4，
故答案为：4．
点评：A．方程f（x）=a有实数解，即a属于函数y=f（x）的值域，然后将方程有实根的问题，转化为求函数值域的问题．
B．本题考查同弧所对的圆周角和弦切角相等，考查直径所对的圆周角等于直角，本题只要观察清楚图象中各个角之间的关系，就可以求出角的大小，这种题目隐含的条件比较多，注意挖掘．
C．此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，还考查了直线与圆相交的性质．