Question

【题目】若存在两个正实数， ，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】由2x+m（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+m（y﹣2ex）ln=0，

即2+m（﹣2e）ln=0，

即设t=，则t＞0，

则条件等价为2+m（t﹣2e）lnt=0，

即（t﹣2e）lnt=﹣有解，

设g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣为增函数，

∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0，

当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=﹣有解，

则﹣≥﹣e，即≤e，

则a＜0或a≥，

故答案选：C

点睛; 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。