Question

（2009•河东区二模）在△ABC中，若

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，则△ABC的面积的最大值为

3

．

Answer 1

分析：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，得bccosA=a=2①，由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=4②，联立①②可得b²+c²=8，由不等式可得bc≤4，而S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=

1

2

bc

1- 4 b2c2

=

1

2

b2c2-4

，由此可求其最大值．

解答：解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，得bccosA=a=2①，
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=

1

2

bc

1- 4 b2c2

=

1

2

b2c2-4

，
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=4②，
由①②消掉cosA得b²+c²=8，所以b²+c²≥2bc，bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
所以S_△ABC=

1

2

b2c2-4

≤

1

2

16-4

=

3

，
故△ABC的面积的最大值为

3

，
故答案为：

3

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，综合性较强，有一定难度．