【题目】已知圆和点
.
(1)过点向圆
引切线,求切线的方程;
(2)求以点为圆心,且被直线
截得的弦长为8的圆
的方程;
(3)设为(2)中圆
上任意一点,过点
向圆
引切线,切点为
,试探究:平面内是否存在一定点
,使得
为定值?若存在,请求出定点
的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)或
;(2)
;(3)存在;定点
时,定值为
或定点
时,定值为
.
【解析】
(1)讨论斜率是否存在:当斜率不存在时,易判断为圆
的切线;当斜率存在时,设出直线方程,由圆心到直线距离等于半径,即可求得斜率,进而确定直线方程.
(2)由点到直线距离公式可先求得点到直线
的距离,再根据所得弦长和垂径定理,即可确定半径,进而得圆
的方程;
(3)假设存在定点,使得
为定值,设
,
,
,根据切线长定理及两点间距离公式表示出
,代入
并结合圆M的方程,化简即可求得
,进而代入整理的方程可得关于
的一元二次方程,解方程即可确定
的值,即可得定点坐标及
的值.
(1)若过点的直线斜率不存在,直线方程为
,为圆
的切线;
当切线的斜率存在时,设直线方程为
,
即,
∴圆心到切线的距离为
,解得
,
∴直线方程为
综上切线的方程为或
.
(2)点到直线
的距离为
,
∵圆被直线截得的弦长为8,∴
,
∴圆的方程为
.
(3)假设存在定点,使得
为定值,设
,
,
∵点在圆
上,
∴,则
∵为圆
的切线,
∴,∴
,
,
∴
即
整理得
若使对任意
,
恒成立,则
,
∴,代入得
,
化简整理得,解得
或
,
∴或
∴存在定点,此时
为定值
或定点
,此时
为定值
.
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【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人,并将这
人按年龄分组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示:
(1)求的值;
(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取人,再从这
人中随机抽取
人进行问卷调查,求第2组中抽到
人的概率.
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【题目】关于异面直线a,b,下列四个命题正确的有( )
A.过直线a有且仅有一个平面β,使b⊥β
B.过直线a有且仅有一个平面β,使b//β
C.在空间存在平面β,使a//β,b//β
D.在空间不存在平面β,使a⊥β,b⊥β
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【题目】已知梯形ABCD中,,如图(1)所示.现将△ABC沿边BC翻折至
A'BC,记二面角A'—BC—D的大小为θ.
(1)当θ=90°时,如图(2)所示,过点B作平面与A‘D垂直,分别交于点E,F,求点E到平面
的距离;
(2)当时,如图(3)所示,求二面角
的正切值
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【题目】(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
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【题目】某企业共有员工10000人,下图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入(单位:万元)频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图计算样本的平均数.并以此估算该企业全体员工中年收入不低于样本平均数的人数(同一组中的数据以这数据所在区间中点的值作代表);
(2)若抽样调查中收入在万元员工有2人,求在收入在
万元的员工中任取3人,恰有2位员工收入在
万元的概率;
(3)若抽样调查的样本容量是400人,在这400人中:年收入在万元的员工中具有大学及大学以上学历的有
,年收入在
万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有
,将具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工人数填入下面的列联表,并判断能否有
的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异?
具有大学及大学以上学历 | 不具有大学及大学以上学历 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
附:;
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有
以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为,求
的分布列及数学期望.
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】新冠肺炎疫情期间,为确保“停课不停学”,各校精心组织了线上教学活动.开学后,某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人,抽取的样本中高二年级有50人,高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布表.
分组 | 频数 | 频率 |
5 | 0.10 | |
8 | 0.16 | |
x | 0.14 | |
12 | y | |
10 | 0.20 | |
z | ||
合计 | 50 | 1 |
(1)求该校学生总数;
(2)求频率分布表中实数x,y,z的值;
(3)已知日睡眠时间在区间[6,6.5)的5名高二学生中,有2名女生,3名男生,若从中任选2人进行面谈,则选中的2人恰好为一男一女的概率.
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