【题目】已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“x0∈R,x +4x0+a=0”.若命题“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,1)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,e)∪(4,+∞)
D.(1,+∞)
【答案】C
【解析】解:对于命题p:x∈[0,1],a≥ex , ∴a≥(ex)max , x∈[0,1],
∵ex在x∈[0,1]上单调递增,
∴当x=1时,ex取得最大值e,
∴a≥e.
对于命题q:x0∈R,x02+4x0+a=0,
∴△=42﹣4a≥0,解得a≤4.
若命题“p∧q”是假命题,
则p与q一真一假时:
得: 或 ,解得:a>4或a<e,
p,q均是假命题时:
,无解,
综上:a∈(﹣∞,e)∪(4,+∞),
故选:C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
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【题目】设是两个不共线的非零向量.
(1)设,,,那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线;
(2)若,且与的夹角为60°,那么实数x为何值时的值最小?最小值为多少?
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【题目】某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查,在喜欢玩电脑游戏的12人中,有10人认为作业多,2人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏的10人中,有3人认为作业多,7人认为作业不多.
(1)根据以上数据建立一个列联表.
(2)对于该班学生,能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系?
下面临界值表仅供参考:
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式:.
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【题目】近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机对心肺疾病入院的人进行问卷调查,得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | A | ||
女 | |||
合计 | B |
(1)根据已知条件求出上面的列联表中的A和B;用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽人,其中男性抽多少人?
(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量,并说明是否有的把握认为心肺疾病与性别有关?
下面的临界值表供参考:
参考公式: ,其中.
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【题目】已知抛物线的准线方程为,点为坐标原点,不过点的直线与抛物线交于不同的两点.
(1)如果直线过点,求证: ;
(2)如果,证明:直线必过一定点,并求出该定点.
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥x的解集;
(2)若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求a的范围;
(3)若方程f(x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
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【题目】函数 ,其中 .
(1)试讨论函数 的单调性;
(2)已知当 (其中 是自然对数的底数)时,在 上至少存在一点 ,使 成立,求 的取值范围;
(3)求证:当 时,对任意 ,,有 .
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