Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn(x)=fn-1′(x)，(n∈N*，n≥2)，则f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2012(

π

2

)=

0

．

Answer 1

分析：利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将

π

4

代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．

解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2012(

π

4

)=4[f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+f₃（

π

2

）+f₄（

π

2

）]=0．
故答案为0．

点评：本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．