Question

命题甲：集合M={x|kx²-2kx+1=0}为空集；命题乙：关于x的不等式x²+（k-1）x+4＞0的解集为R．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k的取值范围是

（-3，0）∪[1，5）

．

Answer 1

分析：由题意可得命题甲乙对应的k的范围，分甲真乙假，甲假乙真两种情形，由集合的运算可得．

解答：解：∵集合M={x|kx²-2kx+1=0}为空集，
当k≠0时，△=（-2k）²-4k＜0，解得0＜k＜4，
当k=0时，方程变为1=0，无解，满足题意，
故可得0≤k＜4；
又∵关于x的不等式x²+（k-1）x+4＞0的解集为R，
∴△′=（k-1）²-4×4＜0，解得-3＜k＜5，
当甲命题为真，乙命题为假时，可得
[0，4）∩{（-∞，-3]∪[5，+∞）}=∅，
当甲命题为假，乙命题为真时，可得
{（-∞，0）∪[4，+∞）}∩（-3，5）=（-3，0）∪[1，5），
故答案为：（-3，0）∪[1，5）

点评：本题考查复合命题的真假，涉及二次函数的性质和分类讨论的思想，属基础题．