Question

【题目】设函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的导数f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

∵f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9，

∴ 得a=3，b=9，

则f（x）=﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x2﹣2x﹣3），

由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，

此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），

由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，

此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；

（2）解：由（1）知，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，

f（﹣2）=8+12﹣18+c=2+c，f（2）=﹣8+12+18+c=22+c，

则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）=22+c=20，

则c=﹣2．

（3）解：由（1）知当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，

当x=3时，函数取得极大值f（3）=﹣27+27+27+c=27+c，

若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，

则 得 ，得﹣27＜c＜5，

即c的范围是（﹣27，5）．

【解析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；（2）求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值，建立方程关系即可求c的值．（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．