Question

【题目】已知M是直线l：x=﹣1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N （Ⅰ）求点N的轨迹C的方程
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0）， 准线方程为l：x=﹣1，
∴点N的轨迹C的方程y2=4x；

（Ⅱ）设A（ ，a），则A′（ ，﹣a），
直线AP的斜率kAP= = ，
直线AB的方程y= （x﹣2），
由 ，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0，
设B（x2 ， y2），则ay2=﹣8，则y2=﹣ ，x2= ，
则B（ ，﹣ ），
又A′（ ，﹣a），
∴A′B的方程为y+a=﹣ （x﹣ ），
令y=0，则x=﹣2，
直线A′B与x轴交于定点T（﹣2，0），
△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨= 丨TP丨=2，
即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．

【解析】（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），点N的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）设A（ ，a），则A′（ ，﹣a），直线AB的方程y= （x﹣2），代入抛物线方程，求得B的坐标，A′B的方程为y+a=﹣ （x﹣ ），则令y=0，则x=﹣2，直线A′B与x轴交于定点T（﹣2，0），即可求得存在一个定点T（﹣2，0），使得T，A′，B三点共线，△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨= 丨TP丨=2，即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．