Question

【题目】设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长度为8， 的中点到轴的距离为3.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设直线在轴上的截距为6，且抛物线交于两点，连结并延长交抛物线的准线于点，当直线恰与抛物线相切时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）; （2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，直接运用抛物线的定义分析求解；（2）依据题设建立直线方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系，建立方程求解：

（1）设所求抛物线方程为，

则，又，所以.

即该抛物线的标准方程为.

（2）由题意，直线的斜率存在，不妨设直线， ，

由消得，即（*）

抛物线在点处的切线方程为，

令，得，所以，

而三点共线，所以及，得.

即，

整理得，

将（*）式代入上式得，即，

所以所求直线的方程为.