Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°， ∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．
设 =λ（0≤λ≤1），则 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
∴ = =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
显然平面ABCD的一个法向量为 =（0，0，1）．
设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即
令x=1，得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．
∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
∴| |=| |，即 ，
解得 ，或 （舍）．
∴ ．

【解析】（I）由平行四边形的性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设 =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐标，根据线面角相等列方程解出λ．