Question

【题目】已知函数，（）．

（1）当，且时，求的值域；

（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）将参数值代入，根据二倍角公式得到关于正弦的二次函数，再转化为二次函数最值问题；（2）由二倍角公式得到f（x）=+asinx，分类讨论即可.

详解：

（1）当a=1，时，f（x）=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣（1﹣2sin2x）+1=+sinx

=2﹣；

时，sinx∈[﹣1，1]，

∴sinx=﹣时，f（x）取得最小值﹣，sinx=1时，f（x）取得最大值3，

∴f（x）的值域为[﹣，3]；

（2）f（x）=asinx﹣cos2x+1=asinx+=+asinx，

设t=sinx，则t∈[﹣1，1]，代入原函数得y=2t2+at，

∵存在实数x使得函数f（x）≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得函数2t2+at≥a2成立，

①当a=0时，2t2≥0成立，

②当a≠0时，由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，

当a＞0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），

由题意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，

当a＜0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），

由题意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，

综上，实数a的取值范围是[﹣2，2]．