Question

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点G，利用三角形的中位线平行且等于底边的一半得到四边形FGCD是平行四边形，进一步得到DF∥CG，利用直线与平面平行的判定定理得证．
（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量垂直于平面内两相交向量，求出平面BDF与平面ABD的法向量，利用向量的数量积求出两个法向量的夹角余弦，根据平面与平面所成角与法向量所成角的关系求出二面角F-BD-A的大小．

解答：解：（1）取AB的中点G，连CG，FG，
则FG∥BE，且FG=

1

2

BE，
∴FG∥CD且FG=CD，
∴四边形FGCD是平行四边形，
∴DF∥CG，
∵CG?平面ABC，FD?平面ABC
∴DF∥平面ABC．…（5分）
（2）以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为 x、y、z轴，
建立如图的空间直角坐标系，则
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）．
∴

BD

=（0，2，1），

DF

=（1，-2，0）
设平面BDF的一个法向量为

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

DF

，

n

⊥

BD

，
∴

n • DF =0 n • BD =0

，即

(x，y，z)•(1，-2，0)=0 (x，y，z)•(0，2，1)=0

，解得

x-2y=0 2y+z=0

，
则x=2y，z=-2y  令y=1则x=2，z=-2
∴

n

=(2，1，-2)…（7分）

BA

=（2，0，0），

DF

=（0，2，1）
设

m

=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量
所以 

BA

•

m

=0

BD

•

m

=0

2x=0 2y+z=0

解得：x=0，z=-2y
令y=1  得  z=-2   所以

m

=(0，1，-2)…（9分）
二面角F-BD-A的平面角为θ，显然是锐角．
即cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n || m |

|=|

(2，1，-2)•(0，1，-2)

3× 5

|=

5

5

即θ=arccos

5

5

…（12分）

点评：主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，在高考中以解答题的形式出现，常用的工具是空间向量．