Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₆-S₁₂成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b_n}的前n项积为T_n，则T₄，

 

，

 

，

T16

T12

成等比数列．

Answer 1

分析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．

解答：解：设等比数列{b_n}的公比为q，首项为b₁，
则T₄=b₁⁴q⁶，T₈=b₁⁸q¹⁺²⁺⁺⁷=b₁⁸q²⁸，
T₁₂=b₁¹²q^1+2++11=b₁¹²q⁶⁶，
∴

T8

T4

=b₁⁴q²²，

T12

T8

=b₁⁴q³⁸，
即（

T8

T4

）²=

T12

T8

•T₄，故T₄，

T8

T4

，

T12

T8

成等比数列．
故答案为：

T8

T4

T12

T8

点评：本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．