Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对x的取值情况分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式f（x）＞3即可；
（2）由（1）可求得f（x）_min=

5

2

，解不等式

5

2

≤|2a-1|即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）①当x≥

1

2

时，f（x）=2x-1+x+2=3x+1，
所以由f（x）＞3得：x＞

2

3

…（1分）
②当-2≤x＜

1

2

时，f（x）=1-2x+x+2=3-x，
所以由f（x）＞3得：x＜0，
又-2≤x＜

1

2

，所以-2≤x＜0…（2分）
③当x＜-2时，f（x）=1-2x-x-2=-3x-1，
所以由f（x）＞3得：x＜-

4

3

，
又x＜-2，所以x＜-2…（3分）
综上，不等式不等式f（x）＞3的解集为{x|x＞

2

3

或-2≤x＜0或x＜-2}={x|x＜0或x＞

2

3

}…（5分）
（2）f（x）≤|2a-1|的解集不是空集?f（x）_min≤|2a-1|…（6分）
由（1）知：f（x）=

3x+1，x≥ 1 2 -x+3，-2≤x＜ 1 2 -3x-1，x＜-2

，
∵当x≥

1

2

时，f（x）≥

5

2

；当-2≤x＜

1

2

时，

5

2

＜f（x）≤5；当x＜-2时，f（x）＞5；
∴f（x）≥

5

2

，f（x）_min=

5

2

…（8分）
∴

5

2

≤|2a-1|，解得a≥

7

4

或a≤-

3

4

，
∴a的取值范围为（-∞，-

3

4

]∪[

7

4

，+∞）…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的取值情况分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．