Question

【题目】已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．
（1）当l的斜率是时， ，求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1= 时，l方程为y= （x+4）即x=2y﹣4．

由 得2y2﹣（8+p）y+8=0

∴ ②

又∵ ，∴y2=4y1③

由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y

（2）解：设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）

由 得：x2﹣4kx﹣16k=0④

∴ ．

∴BC的中垂线方程为

∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2

对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．

∴b∈（2，+∞）

【解析】（1）先求得直线l的方程，再根据直线与抛物线的位置关系及求得点B，C的坐标，从而求得抛物线C的方程；（2）设出直线l的方程，利用直线与抛物线的关系表示出BC中点的坐标，则可以表示出BC中垂线的方程，进而表示出BC的中垂线在y轴上的截距，结合直线l的特征求得其截距的取值范围.