Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx(a＜0)，对于数列{a_n}，设它的前n项的和为S_n，且S_n＝f(n)(n∈N^*)．

(1)证明数列{a_n}是递减的等差数列；

(2)证明所有的点M_k(k，)(k∈N^*)在同一直线L₁上；

(3)设过点(1，a₁)、(2，a₂)的直线为L₂，求L₁与L₂的夹角的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

证明(1)Sn＝an2＋bn，a1＝a＋b　　an＝sn－sn－1＝(2n－1)a＋b　　n≥2 　　当n＝1时也适合．　　∴an＝(2n－1)a＋b 　　∵an－an－1＝2a(定值)　　∴数列{an}为等差数列 　　又∵an－an－1＝2a＜0　　即an＜an－1　　∴{an}为递减数列 　　证明(2)设任意两点Mk(k，)，Mn(n，)　　n≠k 　　两点斜率＝＝a(实值) 　　所以所有的点在同一直线y－(a＋b)＝a(x－1)上 　　(法二，f(k)＝＝ak＋b) 　　解(3)L1方程y＝ax＋b　　k1＝a　　N1(1，a＋b)　　N2(2，3a＋b)　　k2＝2a 　　tanθ＝＝(a＜0) 　　＝　　∵|＋2a|≥ 　　∴tanθ≤　　当且仅当a＝－时取等号　　又tanθ在(0，)上递增 　　∴θmax＝arc