Question

（2010•黄冈模拟）已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N^*），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=

yn+1

yn

（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记c_n=

4

anbn

，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与

37

32

的大小（n∈N^*）；
（3）记d_n=

3×5n

2n+2×(bn-1)

，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n+1]．

Answer 1

分析：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），然后根据y_n+1=4xn+n=4xn+1可得x_n+1=x_n+n，然后根据累加法可求出数列{x_n}的通项公式；
（2）先判定S₁，S₂，S₃是否满足条件，然后利用放缩法可知当n＞3时，S_n=

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+…+

1

n×4n-1

＜

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+

1

3×43

+…+

1

3×4n-1

，然后利用等比数列求和可证得结论；
（3）根据d_n=

3×5n

2n+2×(bn-1)

可知d_n+1＜

5

8

dn，T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1=

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有d_k+d_2n-k≥

6×5n

2n+2

×

1

4n-1

=2d_n，从而T_2n-1≥

1

2

×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n，从而证得结论．

解答：解：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），
∴y_n+1=4xn+n=4xn+1，∴x_n+1=x_n+n，（2分）
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

+1；（4分）
（2）∵c_n=

1

n•4n-1

，由S₁=1＜

37

32

，S₂=1+

1

8

=

9

8

＜

37

32

，S₃=1+

1

8

+

1

48

=

55

48

＜

37

32

，
∴当n＞3时，S_n=

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+…+

1

n×4n-1

＜

1

1

+

1

2×4

+

1

3×42

+

1

3×43

+…+

1

3×4n-1

=1+

1

8

+

1

3

×

1 42 ×(1- 1 4n-2 )

1- 1 4

=

9

8

+

1

36

-

1

9×4n-1

＜

9

8

+

1

32

-

1

9×4n-1

=

37

32

（8分）
（3）∵d_n=

3×5n

2n+2×(bn-1)

，所以易证：d_n+1＜

5

8

dn，
∴当n≥2时，d_n＜

5

8

dn-1＜(

5

8

) 2dn-2＜…＜(

5

8

)n-1d1=(

5

8

)n，
∴T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1=

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]，（当n=1时取“=”）（11分）
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有：
d_k+d_2n-k=

3

4

×[

5k

2k×(4k-1)

]≥

3

4

×2

5k 2k×(4k-1) × 52n-k 22n-k×(42n-k-1)

=

3×2×5n

4×2n

1 (4k-1)(42n-k-1)

=

6×5n

2n+2

1 42n-4k-42n-k+1

，
又∵4^k+4^2n-k≥2×4ⁿ，∴4²ⁿ-4^k-4^2n-k+1≤4²ⁿ-2×4ⁿ+1=（4ⁿ-1）²，
∴d_k+d_2n-k≥

6×5n

2n+2

×

1

4n-1

=2d_n，
T_2n-1≥

1

2

×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n．
所以对任意的n∈N^*，都有：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及放缩法的运用和等比数列求和，同时考查了计算能力，属于难题．