Question

如图：四棱锥中，,,．∥，．．

（Ⅰ）证明: 平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：取线段中点，连结．

根据边角关系及　得到，

因为，且，可得平面。

（Ⅱ）点是线段的中点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：取线段中点，连结．

因为，所以           1分

因为∥，所以，           2分

又因为，所以，而

所以．          4分

因为，所以　即

因为，且

所以平面          6分

（Ⅱ）解：以为坐标原点，以

所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

则四点坐标分别为：

；；；       8分

设；平面的法向量．

因为点在线段上，所以假设，所以 

即，所以．        9分

又因为平面的法向量．

所以，所以

所以         10分

因为直线与平面成角正弦值等于，所以．

所以　即．所以点是线段的中点． 12分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，空间向量的应用。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。（1）注意转化成了平面几何问题；（2）利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。