Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|

PF2

|-|

PF1

|=2的点P的轨迹是曲线E，过点（0，-1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且|AB|=6

3

．
（1）求曲线E的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）问：曲线E上是否存在点C，使

OA

+

OB

-m

OC

=

0

（O为坐标原点），若存在，则求出m的值和△ABC的面积S；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，由此能求出曲线E的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．由直线与双曲线左支交于两点A，B，得

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

和|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，能求出直线l的方程．
（3）设C（x，y），由

OA

+

OB

-m

OC

=

0

，得x₁+x₂=mx，且y₁+y₂=my.x=

x1+x2

m

，y=

y1+y2

m

，（m≠0）．又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8，所以点C(-

4 5

m

，

8

m

)．C到AB的距离为

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

，由此能求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，
且c=

2

，a=1，易知b=1，
故曲线E的方程为x²-y²=1（x≤-1）（3分）
（2）设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0（4分）
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1（6分）
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得：28k⁴-55k²+25=0，得k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1
∴k=-

5

2

故直线l的方程为

5

2

x+y+1=0（8分）
（3）设C（x，y），由已知

OA

+

OB

-m

OC

=

0

，得x₁+x₂=mx，且y₁+y₂=my
∴x=

x1+x2

m

，y=

y1+y2

m

，（m≠0）（9分）
又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴点C(-

4 5

m

，

8

m

)（10分）
将点C的坐标代入曲线E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1得m=±4，（11分）
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴m=4，C点的坐标为(-

5

，2)
所以C到AB的距离为

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

（12分）
∴△ABC的面积S=

1

2

×6

3

×

1

3

=

3

（13分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．