Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，求证：θ+φ=

π

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB⊥BC，而AB?侧面A₁ABB₁，可先证BC⊥侧面A₁ABB₁，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，根据面面垂直的性质可知AD⊥平面A₁BC，则AD⊥BC，又AA₁⊥BC，AA₁∩AD=A，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接CD，根据线面所成角的定义可知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，则∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=β．在Rt△A₁AB中，∠AA₁D+φ=∠AA₁B+φ=

π

2

，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC．又BC?平面A₁BC
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，
故AB⊥BC．
（Ⅱ）连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，
∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=β．
于是在Rt△ADC中，sinθ=

AD

AC

=

AD

a

，在Rt△ADA₁中，sin∠AA₁D=

AD

AA1

=

AD

a

，
∴sinθ=sin∠AA₁D，由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ=∠AA₁D．
又由Rt△A₁AB知，∠AA₁D+φ=∠AA₁B+φ=

π

2

，故θ+φ=

π

2

．

点评：考查线面所成角与线面垂直的性质定理以及二面角的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．