Question

（2008•临沂二模）已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x），（a＜0，a∈R）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3，如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的定义即可得出；
（II）假设存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3．利用导数的运算法则可得f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，分类讨论（i）当-

1

a

≥e时，（ii）当-

1

a

＜e时，即a＜-

1

e

时．得出即可．

解答：解：（I）设x∈（0，e]，则-x∈[-e，0）．
而f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）-lnx]=ax+lnx．
∴f(x)=

ax-ln(-x)，x∈[-e，0) ax+lnx，x∈(0，e]

．
（II）假设存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3．
f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，
（i）当-

1

a

≥e时，即-

1

e

≤a＜0时．f（x）在（0，e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a=

-4

e

＜-

1

e

，应舍去．
（ii）当-

1

a

＜e时，即a＜-

1

e

时．
列表
由表格可知：f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3，得a=-e²．
故存在实数a=-e²，使f（x）在（0，e]上取得最大值-3．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法、奇函数的意义等是解题的关键．