Question

已知函数f（x）=

|x|，x∈p -x2+2x，x∈M

其中P，M是非空数集，且P∩M=φ，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．
（I）若P=（-∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（II）是否存在实数a＞-3，使得P∪M=[-3，a]，且f（P）∪f（M）=[-3，2a-3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；
（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．

Answer 1

（I）∵P=（-∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（-∞，0）}=（0，+∞），
∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=-x²+2x，x∈[0，4]}=[-8，1]．
∴f（P）∪f（M）=[-8，+∞）
（II）若-3∈M，则f（-3）=-15∉[-3，2a-3]，不符合要求
∴-3∈P，从而f（-3）=3
∵f（-3）=3∈[-3，2a-3]
∴2a-3≥3，得a≥3
若a＞3，则2a-3＞3＞-（x-1）²+1=-x²+2x
∵P∩M=∅，∴2a-3的原象x₀∈P且3＜x₀≤a
∴x₀=2a-3≤a，得a≤3，与前提矛盾
∴a=3
此时可取P=[-3，-1）∪[0，3]，M=[-1，0），满足题意
（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M
∴（-∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P
若存在0＜x₀＜1，使得x₀∈M，则1＞f（x₀）=-x02+2x₀＞x₀，
于是[x₀，-x02+2x₀]⊆M
记x₁=-x02+2x₀∈（0，1），x₂=-x12+2x₁，…
∴[x₀，x₁]∈M，同理可知[x₁，x₂]∈M，…
由x_n+1=-xn2+2x_n，得1-x_n+1=1+xn2-2x_n=（1-xn ）²；
∴1-x_n=（1-xn-1 ）²=（1-x_n-2）2²=…=（1-x₀）2ⁿ
对于任意x∈[x₀，1]，取[log₂log_（1-x₀）（1-x）-1，log₂log_（1-x₀）（1-x）]中的自然数n_x，则
x∈[xn_x，xn_x+1]⊆M
∴[x₀，1）⊆M
综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：
P=（0，t）∪[1，+∞），M=（-∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1
或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（-∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1
或者P=[1，+∞），M=（-∞，1]
或者P=（0，+∞），M=（-∞，0]