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    如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    （n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
    （1）求点Q1、Q2的坐标；
    （2）求数列{an} 的通项公式；
    （3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
    1
    3
    ．
    分析：（1）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标．
    （2）由Qn，Qn+1在曲线C上，知yn=
    1
    xn
    ，yn+1=
    1
    xn+1
    ，由Pn在曲线Cn上，知yn+1=
    1
    xn+2-n
    ，由此能求出数列{an} 的通项公式．
    （3）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1=1-
    1-(
    1
    2
    )    n
    1-
    1
    2
    =2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）=2-n(
    1
    xn
    -
    1
    xn+1
    )    =
    1
    2n
    (
    1
    2-21-n
    -
    1
    2-2-n
    )    =
    1
    (2•2n-2)• (2•2n-1)
    ，由此入手能够证明sn＜
    1
    3
    ．
    解答：解：（1）∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），
    ∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
    ∴Q1(1，1)，P(1，
    2
    3
    ) ，Q2(
    3
    2
    ，
    2
    3
    )    ．-----------------------------------（2分）
    （2）∵Qn，Qn+1在曲线C上，
    ∴yn=
    1
    xn
    ，yn+1=
    1
    xn+1
    ，
    又∵Pn在曲线Cn上，
    ∴yn+1=
    1
    xn+2-n
    ，--------------------------------（4分）
    ∴xn+1=xn+2-n，
    ∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
    （3）xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
    =2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
    =1-
    1-(
    1
    2
    )    n
    1-
    1
    2

    =2-21-n．-------------------（9分）
    ∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）
    =2-n(
    1
    xn
    -
    1
    xn+1
    )
    =
    1
    2n
    (
    1
    2-21-n
    -
    1
    2-2-n
    )
    =
    1
    (2•2n-2)• (2•2n-1)
    ，
    ∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，
    ∴an•bn≤
    1
    3•2n
    ．--------------------------------（12分）
    ∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
    ≤
    1
    3×2
    +
    1
    3×22
    +…+
    1
    3×2n
    =
    1
    6
    •
    1-(
    1
    2
    )    n
    1-
    1
    2
    =
    1
    3
    (1-
    1
    2n
    )＜
    1
    3
    -----------------------（14分）
    点评：本题考查点坐标的求法、求数列的通项公式、求证sn＜
    1
    3
    ．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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    x+2-n
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    （I）求a1，a2，a3的值；
    （II）求数列{an}的通项公式；
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    n
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    （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
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    1
    3
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    （Ⅰ） 求a2与an；
    （Ⅱ） 求Sn，并证明Sn＜
    13
    ．

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