Question

9．已知a为负的实常数，解关于x的不等式：ax²-a²x-x+a＜0．

Answer 1

分析 a＜0时，不等式化为（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）＞0，讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：不等式ax²-a²x-x+a＜0可化为
ax²-（a²+1）x+a＜0，
即（ax-1）（x-a）＜0；
又a＜0，∴原不等式可化为（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）＞0，
当a＜-1时，$\frac{1}{a}$＞a，
∴不等式的解集为{x|x＜a或x＞$\frac{1}{a}$}；
当a=-1时，$\frac{1}{a}$=a=-1，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当-1＜a＜0时，$\frac{1}{a}$＜a，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞a}；
综上，a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞$\frac{1}{a}$}，
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}，
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞a}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．