Question

【题目】设f（x）= 为奇函数，a为常数，
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（ ）x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，

∴ ，

即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1），

即1﹣a2x2=1﹣x2，

即a2=1，

∴a=﹣1或a=1，

若a=1，则 = 不满足条件，舍去，

故a=﹣1．

（2）证明：∵ ，（x＞1），

设1＜x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0

∵ ，

∴

∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增

（3）解：设 ，

则g（x）在[3，4]上是增函数

∴g（x）＞m对x∈[3，4]恒成立，

∴m＜g（3）=﹣

【解析】（1）根据对数的基本运算以及函数奇偶性的性质建立条件关系即可求a的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；（3）结合函数的单调性，利用参数分离法即可求出m的取值范围．