Question

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a的解集非空，则实数a的取值范围是

a≥4或a≤1

．

Answer 1

分析：令f（x）=|x+3|-|x-1|，可求得f（x）_min，依题意，a²-5a≥f（x）_min，解之即可．

解答：解：令f（x）=|x+3|-|x-1|，
则当x＜-3时，f（x）=-x-3+x-1=-4；
当-3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
当x＞1时，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）_min=-4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a的解集非空，
∴a²-5a≥f（x）_min=-4，
∴a²-5a+4≥0．
解得：a≥4或a≤1．
∴实数a的取值范围是a≥4或a≤1．
故答案为：a≥4或a≤1．

点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．