Question

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x)  (当x∈Df且x∈Dg) f(x)  (当x∈Df且x∉Dg) g(x)  (当x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函数f(x)=

1

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，分x=1与x≠1讨论，利用函数性质即可求得函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）当x=1时，易求h（1）=1；当x≠1时，h（x）=f（x）•g（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，再对x分x＞1与x＜1讨论，利用基本不等式即可求得函数h（x）的值域；
（Ⅲ）构造函数f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，可求得g（x）=cos2x-sin2x，继而可证得h（x）=f（x）•f（x+α）=cos4x．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x-1

，g（x）=x²，
∴h（x）=

g(x)，x=1 f(x)•g(x)，x≠1

=

x2，x=1 x2 x-1 ，x≠1

，
（Ⅱ）当x=1时，h（x）=g（x）=1；
当x≠1时，h（x）=f（x）•g（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
若x＞1，则h（x）≥4，其中等号x=2时成立，
若x＜1，则h（x）≤0，其中等号x=0时成立，
∴函数h（x）的值域为（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）；
（Ⅲ）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数解析式的确定及其值域，突出考查转化思想与分类讨论思想，考查基本不等式的应用，属于难题．