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已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|
MN
|•|
MP
|+
MN
NP
=0
,则动点P(x,y)到两点A(-3,0)、B(-2,3)的距离之和的最小值为(  )
分析:首先利用向量数量积的运算求出抛物线的方程,然后根据抛物线的定义再将动点P(x,y)到点A(-3,0)的距离转化为到焦点的距离,进而转化为到准线的距离,如图.再由抛物线的性质知:当B,C和P三点共线的时候距离之和最小,从而得到答案.
解答:解:设P(x,y),因为M(-3,0),N(3,0),
所以|
MN
|=6
MP
=(x+3,y),
NP
=(x-3,y)
MN
=(6,0),
|
MN
|•|
MP
|+
MN
NP
=0
,则6
(x+3)2+y2
+6(x-3)=0

化简整理得y2=-12x,其焦点坐标为(-3,0),
所以点A是抛物线y2=-12x的焦点,
过P作准线x=3的垂线,垂足为C,
则动点P(x,y)到两点A(-3,0)、B(-2,3)的距离之和等于动点P(x,y)到点B(-2,3)和到直线x=3的距离之和,
依题意可知当B,C和P三点共线的时候,距离之和最小,如图,
最小值为:3-(-2)=5.
故选B.
点评:本题在向量与圆锥曲线交汇处命题,考查了向量的数量积、曲线方程的求法、抛物线的定义以及等价转化能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内的动点,满足|
MN
|•|
MP
|+
MN
MP
=0,则动点P(x,y)到点A(-3,0)的距离的最小值为(  )
A、2B、3C、4D、6

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已知两点M(-3,0),N(3,0),若直线上存在点P,使|PM|+|PN|=10,则称该直线为“A型直线”,给出直线:①x=
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;②y=2x+3;③y=x+10;④y=-5x+1,其中是“A型直线”的是
 
.(填序号)

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已知两点M(-3,0),N(3,0),若直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=10,则称该直线为“A型直线”.给出下列直线:①x=6;②y=-5;③y=x;④y=2x+1,其中是“A型直线”的是
③④
③④

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已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内的动点,满足|
MN
||
MP
|+
MN
NP
=0
,则动点P(x,y)到两点M(-3,0),B(-2,3)的距离之和的最小值为
5
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