Question

已知两点M（-3，0），N（3，0），点P为坐标平面内一动点，且|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，则动点P（x，y）到两点A（-3，0）、B（-2，3）的距离之和的最小值为（　　）

• A．4
• B．5
• C．6
• D．

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Answer 1

分析：首先利用向量数量积的运算求出抛物线的方程，然后根据抛物线的定义再将动点P（x，y）到点A（-3，0）的距离转化为到焦点的距离，进而转化为到准线的距离，如图．再由抛物线的性质知：当B，C和P三点共线的时候距离之和最小，从而得到答案．

解答：解：设P（x，y），因为M（-3，0），N（3，0），
所以|

MN

|=6，

MP

=(x+3，y)，

NP

=(x-3，y)，

MN

=（6，0），
由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，则6

(x+3)2+y2

+6(x-3)=0，
化简整理得y²=-12x，其焦点坐标为（-3，0），
所以点A是抛物线y²=-12x的焦点，
过P作准线x=3的垂线，垂足为C，
则动点P（x，y）到两点A（-3，0）、B（-2，3）的距离之和等于动点P（x，y）到点B（-2，3）和到直线x=3的距离之和，
依题意可知当B，C和P三点共线的时候，距离之和最小，如图，
最小值为：3-（-2）=5．
故选B．

点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的数量积、曲线方程的求法、抛物线的定义以及等价转化能力．