Question

设f（x）=6cos2x-

3

sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期．
（II）列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=6

1+cos2x

2

-

3

sin2x
=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3
=2

3

cos(2x+

π

6

)+3
故f（x）的最大值为2

3

+3；最小正周期T=

2π

2

=π
（Ⅱ）由f(α)=3-2

3

得2

3

cos(2α+

π

6

)+3=3-2

3

，故cos(2α+

π

6

)=-1
又由0＜α＜

π

2

得

π

6

＜2α+

π

6

＜π+

π

6

，故2α+

π

6

=π，解得α=

5

12

π．
从而tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．

点评：本题考查三角函数的二倍角公式、公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、三角函数的周期公式、解三角方程．