Question

一束光线通过点M(1-2

2

，-2

2

)射到x轴上，再反射到圆C：（x-1）²+（y+4）²=8上，求反射点在x轴上的横坐标的活动范围（　　）

• A．（0，1 ）
• B．（1-2

  2

  ，0）
• C．[1-2

  2

  ，1]
• D．（1，2

  2

  -1）

Answer 1

分析：当反射光线的斜率存在时，设其方程为：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围，由点到直线的距离公式可得k的值，再检验斜率不存在时直线也与圆相切，进而得到答案．

解答：解：由题意可得：M点关于x轴的对称点为M′（1-2

2

，2

2

），因为反射光线的反向延长线经过M′（1-2

2

，2

2

），
当反射光线的斜率存在时，设其方程为：y-2

2

=k（x-1+2

2

 ），
整理可得 kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，
当反射光线与圆相切时，圆心（1，-4）到反射光线的距离等于半径，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

k2+1

，解得 k=-1．
此时反射光线的方程为x+y-1=0，所以反射点为（1，0）．
当斜率不存在时，反射光线所在的直线的方程为 x=1-2

2

，经检验也与圆相切，此时，反射点的坐标为（1-2

2

，0）．
综上可得，反射点的横坐标的取值范围是[1-2

2

，1]，
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系，以及直线方程的一般式与两点式，考查点到直线的距离公式等知识点，此题综合性较强，属于中档题．