Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是PA的中点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据PA⊥平面ABCD确定PA为四棱锥P-ABCD的高，进而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅱ）连接AC交BD于O，再连接OE，根据中位线定理可得到PC∥OE，再由线面平行的判定定理可证明PC∥OE，得证．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PA
=

1

3

×12×2=

2

3

即四棱锥P-ABCD的体积为

2

3

．

（Ⅱ）连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，
∴PC∥OE．
∵PC∉平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．

点评：本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．