Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱锥P-ABCD的体积．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥AD、AB⊥AP，
∴AB⊥平面PAD．
由AB?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
在平面PAD中，作作PE⊥AD，交AD的延长线与E．（因为AE=APcos60°=2＞AD）
∴平面ABCD⊥PE，在Rt△PAE中，PE=APsin60°=2
V_P-ABCD=AB•AD•PE=2 （6分）
（2）在平面ABCD中，作EF∥DC，交BC的延长线与F，则EF⊥BF，连接PF．∵PE⊥平面ABCD，EF⊥BF∴PF⊥BF
于是∠PEF是二面角P-BC-D的平面角． （10分）
在Rt△PEF中，tan∠PEF== （12分）
分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，∠PAD=60°，我们在平面PAD中作PE⊥AD，交AD的延长线与E，则PE即为棱锥底面上的高，求出棱锥的底面面积及高，代入棱锥体积公式即可得到答案．
（2）作EF∥DC，交BC的延长线与F，连接PF，于是∠PEF是二面角P-BC-D的平面角，解三角形PEF，即可得到二面角P-BC-D的正切值．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，棱锥的体积，其中（1）的关键是计算出棱锥底面上的高，（2）的关键是确定二面角P-BC-D的平面角．