【题目】已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2 , l1⊥l2 , 线段AF的垂直平分线与l2交于点P.
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2 , l1⊥l2 , 线段AF的垂直平分线与l2交于点P, ∴点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,
∴点P的轨迹是以点F为焦点,直线l1:x=﹣1为准线的抛物线,
∴曲线C的方程为y2=4x.
(Ⅱ)设P(x0 , y0),点M(﹣1,m),点N(﹣1,n),
直线PM的方程为:y﹣m= (x+1),
化简,得(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,
∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1,
∴圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即 =1,
∴ = ,
由题意得x0>1,∴上式化简,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,
同理,有 ,
∴m,n是关于t的方程(x0﹣1)t2+2y t﹣(x0+1)=0的两根,
∴m+n= ,mn= ,
∴|MN|=|m﹣n|= = ,
∵ ,|y0|=2 ,
∴|MN|= =2 ,
直线PF的斜率 ,则k=| |= ,
∴ = = ,
∵函数y=x﹣ 在(1,+∞)上单调递增,
∴ ,
∴ ,
∴0< < .
∴ 的取值范围是(0, )
【解析】(Ⅰ)点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,从而点P的轨迹是以点F为焦点,直线l1:x=﹣1为准线的抛物线,由此能求出曲线C的方程.(Ⅱ)设P(x0 , y0),点M(﹣1,m),点N(﹣1,n),直线PM的方程为(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1,圆心(0,0)到直线PM的距离为1,由x0>1,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,同理, ,由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率,结合已知条件能求出 的取值范围.
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【题目】高三年级有500名学生,为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
4 | ||
合计 |
根据上面图表,求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图;
根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在中的概率.
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【题目】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 >,弦AB过焦点,△ABQ为其阿基米德三角形,则△ABQ的面积的最小值为
A. B. C. D.
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【题目】将函数的图象向右平移个单位,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法正确的序号是____.
(1)当时,函数有最小值; (2)图象关于直线对称;
(3)图象关于点对称; (4)在上是增函数.
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【题目】已知函数(0<φ<π)
(1)当φ时,在给定的坐标系内,用“五点法”做出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)若函数f(x)为偶函数,求φ的值;
(3)在(2)的条件下,求函数在[﹣π,π]上的单调递减区间.
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【题目】已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243,且2a3为3a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=bn﹣1log3an+2(n≥2且n∈N*),且b1=1,求数列 的前n项和Sn .
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【题目】为了响应党的十九大所提出的教育教学改革,某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班40人,甲班按原有传统模式教学,乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在[50,100],按照区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀,
,
(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
〔Ⅱ)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,
从中选三位同学发言,记来自[80,90)发言的人数为随机变量x,求x的分布列和期望.
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