Question

【题目】已知函数f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 ．
（1）当x∈（﹣ ， ）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣ ， ]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1= sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+ ）

∵函数是奇函数，0＜φ＜π

∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sinωx，

∵相邻两对称轴间的距离为 ，

∴ =π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin2x，

∵x∈（﹣ ， ），

∴2x∈（﹣π， ），

∴f（x）的单调递减区间为（﹣ ，﹣ ）

（2）解：由题意，g（x）=2sin（x﹣ ）．

当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ π，﹣ ]，

∴函数g（x）的值域为[﹣ ，﹣1]

【解析】（1）f（x）=2sin（ωx+φ+ ），利用函数是奇函数，0＜φ＜π，且相邻两对称轴间的距离为 ，即可求出当x∈（﹣ ， ）时，f（x）的单调递减区间；（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=g（x），即可求出当x∈[﹣ ， ]时，求函数g（x）的值域．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两角和与差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．