分析 (1)将m的值代入函数的表达式,求出函数的导数,通过构造新函数得到f′(x)<0,从而证出函数的单调性;
(2)根据f′(1)=1,得到关于m的函数,通过求导得到函数的单调性,从而求出m的值;
(3)故要证原不等式成立,只需证明:当x>0时,x<ex-1,令h(x)=ex-x-1,通过求导得到函数h(x)的单调性,从而证出结论.
解答 解:(1)当$m=-\frac{1}{2}$时,函数f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),…(1分)
对f(x)求导得$f'(x)=\frac{{\frac{x}{x+1}-ln({x+1})}}{x^2}$,…(2分)
令$g(x)=\frac{x}{x+1}-ln({x+1})$,只需证:x>0时,g(x)≤0.
又$g'(x)=\frac{1}{{{{({x+1})}^2}}}-\frac{1}{x+1}=-\frac{x}{{{{({x+1})}^2}}}<0$,…(3分)
故g(x)是(0,+∞)上的减函数,所以g(x)<g(0)=-ln1=0…(5分)
所以f′(x)<0,函数f(x)是(0,+∞)上的减函数.…(6分)
(2)由题意知,f′(x)|x=1=1,…(7分)
即$\frac{1}{1-2m}-ln({1-2m})=1$,$\frac{2m}{1-2m}-ln({1-2m})=0$…(8分)
令$t(m)=\frac{2m}{1-2m}-ln({1-2m}),m<\frac{1}{2}$,则$t'(m)=\frac{2}{{{{({1-2m})}^2}}}+\frac{2}{1-2m}>0$,…(9分)
故t(m)是$({-∞,\frac{1}{2}})$上的增函数,又t(0)=0,因此0是t(m)的唯一零点,
即方程$\frac{2m}{1-2m}-ln({1-2m})=0$有唯一实根0,所以m=0,…(10分);
(3)因为$\frac{x}{{{e^x}-1}}=\frac{{ln{e^x}}}{{{e^x}-1}}=\frac{{ln({{e^x}-1+1})}}{{{e^x}-1}}$,
故原不等式等价于$\frac{{ln({x+1})}}{x}>\frac{{ln({{e^x}-1+1})}}{{{e^x}-1}}$,…(11分)
由(1)知,当$m=-\frac{1}{2}$时,$f(x)=\frac{{ln({x+1})}}{x}$是(0,+∞)上的减函数,…(12分)
故要证原不等式成立,只需证明:当x>0时,x<ex-1,
令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1>0,h(x)是(0,+∞)上的增函数,…(13分)
所以h(x)>h(0)=0,即x<ex-1,故f(x)>f(ex-1),
即$\frac{{ln({x+1})}}{x}>\frac{{ln({{e^x}-1+1})}}{{{e^x}-1}}=\frac{x}{{{e^x}-1}}$…(14分).
点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题,考查导数的应用,不等式的证明,是一道难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{T_6}{T_4},\frac{{{T_{12}}}}{T_6}$ | B. | $\frac{T_8}{T_4},\frac{{{T_{12}}}}{T_8}$ | ||
C. | $\frac{{{T_{10}}}}{T_4},\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{10}}}}$ | D. | $\frac{{{T_{16}}}}{T_4},\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{16}}}}$ |
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