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过抛物线y2=2x内一点P(a,1)作弦AB,若P为AB中点,则直线AB的方程是
 
考点:直线与圆锥曲线的关系
专题:计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:法一:由题意可设直线AB的方程为x-a=k(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线方程可求y1+y2,结合中点坐标公式可得
y1+y2
2
=k=1,进而可求直线方程;
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12=2x1
y22=2x2
,两式相减及kAB=
y1-y2
x1-x2
,结合中点坐标公式,可求直线AB的斜率,进而可求直线AB的方程.
解答: 解法一:由题意可设直线AB的方程为x-a=k(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程
x-a=k(y-1)
y2=2x
,可得y2-2ky-2(a-k)=0,
则△=4(k2-2k+2a)>0,y1+y2=2k,
由中点坐标公式可得
y1+y2
2
=k=1,
则直线AB的方程为:x-y-a+1=0(a
1
2
);
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由中点坐标公式可得,y1+y2=2,
y12=2x1
y22=2x2

两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
2
y1+y2
=1,
∴直线AB的方程为y-1=x-a即x-y-a+1=0(a>
1
2
).
故答案为:x-y-a+1=0(a>
1
2
).
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线的性质,考查运算求解能力,解题时要认真审题,注意韦达定理的灵活运用.注意法一中直线方程的设法的应用.
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