Question

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a=

1

2

，x∈[0，2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的解析式，将2^x看作一个整体，根据二次不等式的解法，求出2^x的范围，结合指数函数的图象和性质，可得答案．
（2）将a=

1

2

代入，求出函数的解析式，利用换元法，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，求出函数最值后，得到函数的值域．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1
∴f（x）＞0，即2•（2^x）²-2^x-1＞0
解得2^x＞1，或2^x＜-

1

2

（舍去）
∴x＞0
即不等式f（x）＞0的解集为（0，+∞）
（2）当a=

1

2

时，f（x）=4^x-2^x-1
设t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]
此时，y=t²-t-1，t∈[1，4]
∵y=t²-t-1的图象是开口朝上，且以t=

1

2

为对称轴的抛物线
∴y=t²-t-1在区间[1，4]上为增函数
∴当t=1时，函数取最小值-1，当t=4时，函数取最大值11，
故f（x）的值域为[-1，11]

点评：本题考查的知识点是指数不等式的解法，函数的值域，是指数函数，二次函数，不等式，函数值域的综合应用，难度不大，整体思想和换元法是解答此类问题常用的思想和方法．