精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
14.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,E、F、G分别是棱BB1、B1C1、CC1的中点.
(1)求证:AG∥平面A1EF;
(2)求直线AG与平面BCC1B1所成角的大小.

分析 (1)利用比例关系证明AG∥MN,然后通过直线与平面平行的判定定理证明AG∥平面A1EF.   
(2)取BC中点H,说明∠AGH为直线AG与平面BCC1B1所成角,在Rt△AHG中求解直线AG与平面BCC1B1所成角即可.

解答 (1)证明:∵AA1∥BB1,∴$\frac{{B}_{1}M}{MA}=\frac{{B}_{1}E}{{AA}_{1}}=\frac{1}{2}$,
∵B1C1∥BC,∴$\frac{{B}_{1}N}{NG}=\frac{{B}_{1}F}{EG}=\frac{1}{2}$
∴AG∥MN                          (2分)
∵MN?平面A1EF,AG?平面A1EF,
∴AG∥平面A1EF.                   (5分)
(2)解:取BC中点H,由AB=AC,得AH⊥BC   ①
∵BB1⊥平面ABC,AH?平面ABC,∴BB1⊥AH  ②
由①②及BC∩BB1=B,得AH⊥平面BCC1B1
∴∠AGH为直线AG与平面BCC1B1所成角.        (8分)
Rt△ABC中,AB=AC=1,∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
Rt△AHG中,AC=GC=1,∴AG=$\sqrt{2}$.
∴Rt△AHG中,∠AGH=30°.
∴直线AG与平面BCC1B1所成角为30°.               (12分)

点评 本题考查直线与平面所成角的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查计算能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.已知a、b、c为正数,若a2+b2+4c2=1,求ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.过抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOF的面积为(  )
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{47}{32}$C.$\sqrt{2}$D.2$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.已知ab>0,bc<0,则直线ax+by+c=0通过(  )
A.第一、二、四象限B.第一、二、三象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.已知函数f(x)=e1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(  )
A.$({\frac{1}{3},1})$B.$({-∞,\frac{1}{3}})∪({1,+∞})$C.(-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$)D.$({-∞,-\frac{1}{3}})∪({\frac{1}{3},+∞})$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.直线y=m与y=2x-3及曲线y=x+ex分别交于A、B两点,则AB的最小值为2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.已知集合A中含有两个元素1,-2,集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,则a=1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.$\underset{lim}{x→0}$(xsin$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$sinx)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.过点P(2,3)的圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的切线方程为(  )
A.y=3B.x=2C.x=2或3x-4y+6=0D.3x-4y+6=0

查看答案和解析>>

同步练习册答案