Question

【题目】已知过抛物线E：x2=2py（p＞0）焦点F且倾斜角的60°直线l与抛物线E交于点M，N，△OMN的面积为4． （Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）设P是直线y=﹣2上的一个动点，过P作抛物线E的切线，切点分别为A、B，直线AB与直线OP、y轴的交点分别为Q、R，点C、D是以R为圆心、RQ为半径的圆上任意两点，求∠CPD最大时点P的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意， ，所以直线l的方程为 ； 由 得： ，
法一：所以 ，
O到MN的距离 ，
∴p=2，抛物线方程为x2=4y；
法二： ， ，故抛物线方程为x2=4y．
（II）设 ，由x2=4y得 ，
则切线PA方程为 即 ，
同理，切线PB方程为 ，
把P代入可得 ，故直线AB的方程为 即tx﹣2y+4=0，
∴R（0，2）由 得 ，
∴ ，
当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，
此时 ，等号当 时成立，
∴当 时，所求的角∠CPD最大．
综上，当∠CPD最大时点P的坐标为 ．
法二：同解法一，得AB：tx﹣2y+4=0，注意到OP⊥AB，
∴ ，
∴
当且仅当t2+8即 时等号成立．
【解析】（Ⅰ）利用点斜法写出直线l的方程为 ；结合△OMN的几何意义和三角形的面积求法求得p的值即可；（Ⅱ）设 ，由x2=4y得 ，易得切线PA、PB的直线方程，把点P的坐标代入得到直线AB的方程tx﹣2y+4=0，由R的坐标和圆半径的计算方法求得半径的长度，则当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，所以利用锐角三角函数的定义和不等式的基本性质进行解答即可．