Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R）其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）没有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

解：（Ⅰ）令f（x）=0得（x²+ax-2a²+3a）e^x=0．
∵e^x＞0，
∴x²+ax-2a²+3a=0．
∵函数f（x）没有零点，
∴△＜0
∴
（Ⅱ）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f′（x）=0 解得x=-2a 或x=a-2以下分三种情况讨论．
（1）若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数在（-a，a-2）内是减函数
函数f（x）在x=2处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函数f（x）在x=a-2处取得极小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（2）若a＜则-2a＞a-2
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

函数f（x）在x=2处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（3）若a=则-2a=a-2函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值
分析：（Ⅰ）令f（x）=0得（x²+ax-2a²+3a）e^x=0．则x²+ax-2a²+3a=0．由于函数f（x）没有零点，故△＜0，从而得解．
（Ⅱ）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综上所述即可．
点评：本题以函数为载体，考查函数的零点，考查函数导数的求导，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的极值和单调区间．